Pitanje:
Što je motiviralo Cantora da izmisli teoriju skupova?
Ben
2014-10-29 11:13:15 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ne mogu zamisliti matematiku bez skupova, ali na pitanje "kakva je bila matematika prije nego što je bilo skupova", mislim da se ne može odgovoriti. Umjesto toga, dobar odgovor na naslovno pitanje trebao bi pokriti određeni aspekt općenitijeg pitanja.

Mislim da je također bio važan pojam utemeljenja matematike. Je li Cantor novi u vezi s tim, nisam siguran.
Ne znam je li ova veza već navedena u ovoj niti, ali mislim da bih je trebao podijeliti ovdje. http://www.ias.ac.in/resonance/Volumes/19/11/0977-0999.pdf
Hvala @ankit,, ovo je vrlo lijep i apsolutno relevantan članak.
Naravno, matematiku ne možete zamisliti bez skupova - matematika prije formalne teorije skupova nije isto što i "matematika prije nego što je bilo skupova". Poput * algoritama * postojali su zauvijek, iako njihova formalizacija nije stara 150 godina, ljudi su se uvijek koristili presjecima zbirki (* skupova *) i tako dalje.
Tri odgovori:
#1
+40
quid
2014-10-29 15:41:32 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Neposredna motivacija Cantora za rad na onome što je postalo teorijom skupova bio je njegov raniji rad na trigonometrijskim serijama. Da bi riješio problem u toj domeni, uzeo je u obzir skup (zatvoreni skup) nula takve funkcije, zatim izvedeni skup ovog skupa, izvedeni skup ovog skupa i tako dalje. Sve je to još uvijek klasično, ali onda je trebalo otići korak dalje od toga da bi se prvo razmotrilo presijecanje svih tih skupova, a zatim izvedeni skup tog skupa i tako dalje.

Dakle, došao je razmotriti beskonačne ordinale.

O tome se raspravlja na različitim mjestima, uključujući "Teorija skupova i jedinstvenost trogonometrijskih serija" Kechrisa ili " Jedinstvenost trigonometrijskih nizova i opisna teorija skupova, 1870. - 1985. "Rogera Cookea (Arhiva za povijest točnih znanosti, 1993.)

Izvorni rad je (mislim) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math Annalen, 1872.) "

Druga motivacija bio je njegov raniji rad na teoriji brojeva. Koristeći ono što se danas naziva dijagonalizacijskim argumentom, uspio je dokazati rezultate o postojanju transcendentalnih brojeva. To je u njegovom radu iz 1874. godine "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Na posjedu zbirke svih stvarnih algebarskih brojeva")

Ukratko, izvorna motivacija bila je imati bolje alate za napredak u postojećim problemima.

Imate li reference za prvu točku?
Dodao sam neke reference.
Pored referenci koje vi predlažete, uobičajeno mjesto za čitanje o tome je Jourdainov predgovor svom prijevodu Kantorove matematike. Annalen memoari, [* Prilozi za utemeljenje teorije transfiniranih brojeva *] (https://archive.org/details/contributionstot003626mbp).
Najdetaljnija rasprava koju znam na engleskom za Cantorove radove iz trigonometrijske serije je Daubenova * Trigonometrijska podloga teoriji skupova Georga Cantora *. Što se tiče Kantora koji je proširio argument izbrojivosti s obrazloženja na algebarske brojeve, ovo je poteklo od Dedekinda u pismima Cantoru. Prijevodi relevantnih pisama na engleski nalaze se na str. 844-850 Ewaldove knjige (referenca ** [7] ** [ovdje] (http://hsm.stackexchange.com/questions/451/did-galileos-writings-on -infinity-influence-cantor)). Vidi također str. 177-186 iz Ferreirósove knjige iz 1999. i njegove Historia Math iz 1993. godine. papir.
#2
+18
Alexandre Eremenko
2014-11-08 19:11:31 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Zapravo je Cantor radio na specifičnom problemu iz teorije trigonometrijskih serija, takozvanom problemu jedinstvenosti (ne mogu biti precizniji sve dok MathJax nije uveden na ovu stranicu). Ovaj ga je problem doveo do razmatranja proizvoljnih skupova na stvarnoj liniji. Mislim na složenije skupove od konačnih skupova ili konačnih unija intervala. U to vrijeme nije bilo alata i terminologije za proučavanje proizvoljnih skupova, pa je sve to trebalo biti stvoreno.

U procesu ove studije stvorio je ne samo teoriju skupova već i ono što se danas naziva Opća topologija . (Zanimljivo je primijetiti da izvorni problem trigonometrijskih serija do danas nema cjelovito rješenje :-)

Izvorni način dokazivanja, takozvani "dijagonalni postupak" seže do Kantorovog prethodnika, Paul du Bois Reymond, koji je također proučavao trigonometrijske serije.

Žao mi je zbog gnjide, ali drugi put to primjećujem: MathJax, a ne MathJack.
Također, dijagonalni postupak nastao je u okruženju koje nije povezano sa proučavanjem trigonometrijskih serija. [Ovdje] (http://math.stackexchange.com/a/538578/462) nalaze se neki detalji. A [ovdje] (http://andrescaicedo.wordpress.com/2013/11/04/analysis-on-praise/) Hardyev je citat koji možda objašnjava zašto du Bois-Reymond nije poznatiji.
Apsolutno si u pravu. Dijagonalni postupak korišten je za pitanja tipa "redovi beskonačnosti". Ali du Bois-Reymond je također proučavao trig serije, samo zanimljiva slučajnost :-)
@quid: Hvala! Tekst zapravo možete uređivati ​​kada uočite pogrešne otiske.
Nažalost, ovdje još nemam dovoljno bodova za uređivanje, a za predložene izmjene postoji ograničenje broja znakova.
#3
+1
user5737
2017-05-10 16:06:09 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Prema samom Cantoru, njegova je želja bila zamijeniti mehaničko objašnjenje prirode cjelovitijom teorijom. Pogledajte nekoliko aspekata u Što je od Cantorovih tvrdnji postalo istina??



Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...