Neposredna motivacija Cantora za rad na onome što je postalo teorijom skupova bio je njegov raniji rad na trigonometrijskim serijama. Da bi riješio problem u toj domeni, uzeo je u obzir skup (zatvoreni skup) nula takve funkcije, zatim izvedeni skup ovog skupa, izvedeni skup ovog skupa i tako dalje. Sve je to još uvijek klasično, ali onda je trebalo otići korak dalje od toga da bi se prvo razmotrilo presijecanje svih tih skupova, a zatim izvedeni skup tog skupa i tako dalje.

Dakle, došao je razmotriti beskonačne ordinale.

O tome se raspravlja na različitim mjestima, uključujući "Teorija skupova i jedinstvenost trogonometrijskih serija" Kechrisa ili " Jedinstvenost trigonometrijskih nizova i opisna teorija skupova, 1870. - 1985. "Rogera Cookea (Arhiva za povijest točnih znanosti, 1993.)

Izvorni rad je (mislim) " Ueber die Ausdehnung eines Satzes ais der Theorie der trigonometrischen Reihen (Math Annalen, 1872.) "

Druga motivacija bio je njegov raniji rad na teoriji brojeva. Koristeći ono što se danas naziva dijagonalizacijskim argumentom, uspio je dokazati rezultate o postojanju transcendentalnih brojeva. To je u njegovom radu iz 1874. godine "Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Na posjedu zbirke svih stvarnih algebarskih brojeva")

Ukratko, izvorna motivacija bila je imati bolje alate za napredak u postojećim problemima.

Zapravo je Cantor radio na specifičnom problemu iz teorije trigonometrijskih serija, takozvanom problemu jedinstvenosti (ne mogu biti precizniji sve dok MathJax nije uveden na ovu stranicu). Ovaj ga je problem doveo do razmatranja proizvoljnih skupova na stvarnoj liniji. Mislim na složenije skupove od konačnih skupova ili konačnih unija intervala. U to vrijeme nije bilo alata i terminologije za proučavanje proizvoljnih skupova, pa je sve to trebalo biti stvoreno.

U procesu ove studije stvorio je ne samo teoriju skupova već i ono što se danas naziva Opća topologija . (Zanimljivo je primijetiti da izvorni problem trigonometrijskih serija do danas nema cjelovito rješenje :-)

Izvorni način dokazivanja, takozvani "dijagonalni postupak" seže do Kantorovog prethodnika, Paul du Bois Reymond, koji je također proučavao trigonometrijske serije.

Prema samom Cantoru, njegova je želja bila zamijeniti mehaničko objašnjenje prirode cjelovitijom teorijom. Pogledajte nekoliko aspekata u Što je od Cantorovih tvrdnji postalo istina??