Pitanje:
Koji su matematički razvoj / otkrića doveli do toga da zamišljeni brojevi dobiju prihvaćanje u to vrijeme (18. stoljeće)?
Tom Au
2014-10-29 04:42:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

U Wiki članku o imaginarnim brojevima ustvrđeno je da "uporaba imaginarnih brojeva nije bila široko prihvaćena sve do djela Leonharda Eulera (1707–1783) i Carla Friedricha Gaussa (1777–1855 ). "

Što je motiviralo Eulerov i Gaussov doprinos teoriji imaginarnih brojeva? Na primjer, znam da je Euler izradio formulu koja je kasnije dovela do DeMoivreova teorema, ali ne razumijem sasvim zašto. I njihovi su se životi jedva preklapali, pa zašto nitko "između" nije podigao "palicu" od Eulera do Gaussa?

(Ironično je da je Rene Descartes, koji se podsmjehivao izmišljenim brojevima, osnovao "kartezijanski" ( 2x2) koordinatni sustav, koji je paralelan ravnini na kojoj su također graficirani imaginarni brojevi. To je možda bio slučaj "slučajnog" doprinosa.)

Mala glupost: de Moivreov teorem zapravo prethodi Eulerovom identitetu; izvorno ga je izveo u jednom obliku 1707., a kasnije u poznatom obliku 1722. Eulerov identitet nije potreban da bi se dokazao de Moivreov teorem, ali dokaz drastično pojednostavljuje.
Dobre reference za to su prvo poglavlje knjige Tristana Needhama * Vizualna kompleksna analiza * i poglavlja o kompleksnim brojevima u Stillwellovu * Matematika i njezina povijest *.
Tri odgovori:
#1
+19
Danu
2014-10-29 05:11:05 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Prva ozbiljna upotreba kompleksnih brojeva je u pronalaženju korijena kvadratnih, kubnih i kvartičkih polinoma. Cardano je u svom Ars Magna (1545) prvi put pokazao da kvadratne jednadžbe mogu imati (formalno) složene korijene, iako ih nije tako nazvao; rekao je da su "suptilni koliko i [beskorisni su". U Bombellijevom tekstu iz algebre (1572.) razvio je pravila složene aritmetike i pokazao da Cardanova formula za kubnu može dovesti do stvarnih rješenja iako su posredni rezultati zamišljeni. Inače, više puta su mi govorili da je zapis $ i = \ sqrt {-1} $ razvijen samo da bi se zaštitio od uobičajene pogreške ' dokazivanje ' $$ (\ sqrt {-1}) ^ 2 = \ sqrt {(- 1) ^ 2} = \ sqrt {1} = 1 $$

Ključni uvid koji je postignut početkom 18. stoljeća duboka je veza između složenih brojeva i geometrije. Primijećeno je da se $ i $ može upotrijebiti za pojednostavljivanje mnogih trigonometrijskih identiteta, a 1748. Euler je otkrio svoju poznatu i lijepu formulu $$ e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t $$ (Izvod se prilično razlikovao od onog koji se obično predstavlja u današnjim udžbenicima; vidi ovaj unos u seriji Kako je to učinio Euler .)

Koncept kompleksnog broja kao točke u ravnini još je jedno otkriće vrijedno pažnje. Ovu je konstrukciju već koristio Wessel 1799. godine, a Argand ju je neovisno ponovno otkrio, ali zaista je stekla popularnost kada je Gauss objavio svoju raspravu o složenim brojevima. Ova je knjiga također utvrdila veći dio moderne notacije i terminologije koja se koristi u složenoj analizi.

BTW, ovdje je Wesselov originalni članak. http://books.google.com/books?id=8jIyAQAAMAAJ&pg=PA336&dq=Nye+samling+af+det+Kongelige+danske+videnskabernes+selskabs+skrifter&hl=en&sa=X&ei=Z0FwVMHDIbHmsASa04GQAQ&A&4AQAQ&AQ&A&A&A&A&A&A&AA&A&AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAI ovdje: http://books.google.com/books?id=idM6nvbz9xgC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false
Što se tiče razloga uvođenja $ i $, još jedno moguće objašnjenje: smatralo se da ova važna matematička konstanta zaslužuje standardni naziv, poput $ e $ i $ \ pi $. Objašnjenje dano u odgovoru spomenuto je u Wikipediji, ali je označeno * [potreban navod] *.
#2
+6
Alexandre Eremenko
2014-10-29 07:12:58 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Samo da dopunim Danuov odgovor. Neki su ljudi koristili složene brojeve od 16. stoljeća, međutim, prihvaćanje WIDE-a došlo je kasnije (krajem 18. stoljeća) kada je nekoliko ljudi (Argand, Vessel, Gauss) otkrilo geometrijsku interpretaciju.

To je očito bilo presudan korak. Ipak, nisu bili univerzalno priznati. Kažu da ih čak ni Čebišev nikada nije koristio.

Još jedan događaj koji bi mogao biti značajan: početkom 19. stoljeća fizičari su ih počeli koristiti (Fresnel).

O Frenelu: imate li referencu? Nisam mogao naći nikakve koristi od složenih brojeva od Fresnela u vrlo sveobuhvatnom Jed Buchwaldovu * Teorija svjetlosti uspona vala *; Čini se da se Fresnel drži sinusa i kosinusa.
Nisam čitao Fresnela. Vjerojatno ove informacije potječu iz Whittakara, Povijest teorija etera i električne energije, ali moram provjeriti. Konkretno govorimo o ukupnom unutarnjem odrazu (vidi Wikipediju), ali nisam siguran da je izvođenje u Wikipediji Fresnelovo vlastito.
#3
+5
timur
2017-09-28 08:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Osim potrebe za izračunavanjem korijena kubnih polinoma, postoji još jedna, temeljnija uloga koju kompleksni brojevi imaju u polinomnim jednadžbama, a koja se tek počela cijeniti u 17. stoljeću. Ta se uloga izražava kroz temeljni teorem algebre , koji kaže da bilo koja nekonstantna polinomna jednadžba ima barem jedan korijen, ako dopustimo da kompleksni brojevi budu korijeni. To jest, ako su $ a_0, a_1, \ ldots, a_n $ stvarni brojevi da barem jedan od $ a_1, a_2, \ ldots, a_n $ nije nula, tada je jednadžba \ begin {jednadžba} \ label {e: polinom-x-0} p (x) = a_nx ^ n + a_ {n- 1} x ^ {n-1} + \ ldots + a_1x + a_0 = 0, \ end {jednadžba} ima rješenje, pod uvjetom da $ x $ može imati složene vrijednosti.Ako $ a_1 = a_2 = \ ldots = a_n = 0 $ , tada jednadžba $ p (x) = 0 $ postaje $ a_0 = 0 $, koja nema nikakvo (složeno) rješenje kada $ a_0 \ neq0 $ .Tako da je uvjet da barem jedan od $ a_1, a_2, \ ldots , a_n $ nije nula (tj. $ p (x) $ je nestalno) jednostavno isključuje ovaj trivijalni slučaj. Temeljni teorem algebre čudesno je jer su složeni brojevi dizajnirani za rješavanje bilo koje kvadratne jednadžbe i apriorno je zamislivo da moramo uvesti novu vrstu "broja" svaki put kad povećamo stupanj polinomne jednadžbe .Prvu formulaciju temeljnog teorema algebre dao je Albert Girard (1595.-1632.) 1629. godine, iako nije pokušao dokazati. Zapravo, rigorozni dokazi ovog teorema pojavili su se tek početkom 19. stoljeća, što usput označava početak ere kada su postojanje i korisnost kompleksnih brojeva bili široko prihvaćeni.

Svaka sumnja u postojanje i važnost kompleksnih brojeva potpuno je riješena nakon razvoja složene analize , koja je također poznata i kao teorija funkcija . Početna motivacija za proučavanje funkcija složene varijable bila je njihova upotreba za izračunavanje (ili pojednostavljivanje) stvarnih određenih integrala, a pionirska djela u tom smjeru radili su Euler i Joseph-Louis Lagrange (1736.-1813.) oko 1760.-1780. Njihova istraživanja započeo je kasnije 1810-ih Augustin Louis Cauchy (1789.-1857.), koji je do 1821. shvatio da složene funkcije imaju bogatu vlastitu teoriju. Gauss je postigao isto razumijevanje već 1811. godine i igrao je glavnu ulogu u popularizaciji složenih brojeva, ali nije izravno doprinio razvoju složene analize. Tako je otprilike između 1820. i 1850. Cauchy je samostalno razvio sve osnovne rezultate složene analize, možda s izuzetkom Laurentove serije, koja se prvi put pojavila u radu koji je 1843. podnio Pierre Alphonse Laurent (1813-1854).



Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...