Pitanje:
Postoje li pisani (19. stoljeće) izvori koji izražavaju uvjerenje da je svojstvo srednje vrijednosti ekvivalent kontinuitetu?
Andrés E. Caicedo
2014-10-29 12:13:53 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Kao što je postavljeno u naslovu:

Postoje li neki pisani izvori (iz 19. stoljeća) koji izričito navode uvjerenje da je bilo koja funkcija koja zadovoljava svojstvo srednje vrijednosti kontinuirana?

(Ne vjerujem da ima smisla tražiti ranije izvore, budući da sam pojam kontinuiteta nije postao strog tek u 19. stoljeću. Ovo je pitanje poteklo iz odgovora koji sam dao na Math.Stackexchange. Ono što slijedi uvelike posuđuje iz tog odgovora.)

Ako je I interval, a f: I → ℝ, kažemo da f ima svojstvo srednje vrijednosti ako i samo ako su, kad god su a ≠ b točke I, ako je c između f (a) i f (b), tada postoji ad između a i b s f (d) = c.

Bolzano je 1817. objavio svoj rad Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege ( Čisto analitički dokaz teorema da se između bilo koje dvije vrijednosti koje daju rezultate suprotnog predznaka nalazi barem jedan stvarni korijen jednadžbe). Tamo dokazuje da kontinuirane funkcije zadovoljavaju svojstvo srednje vrijednosti. Kao što je naznačio u radu, smatralo se da je prijedlog istinit, a nekoliko je "geometrijskih" argumenata pokušalo to opravdati.

S druge strane, sada znamo da je svojstvo srednje vrijednosti je daleko slabiji od kontinuiteta. Lijepa anketa koja sadrži detaljne primjere funkcija koje se prekidaju, a imaju svojstvo srednje vrijednosti je

I. Halperin, Prekinute funkcije sa svojstvom Darboux , Can. Matematika. Bull., 2 (2) , (svibanj 1959.), 111-118.

U Halperinovom radu nalazimo zabavni citat

Do rada Darbouxa 1875. godine neki su matematičari vjerovali da svojstvo [srednje vrijednosti] zapravo podrazumijeva kontinuitet f (x).

Ova se tvrdnja ponavlja na (mnogim) drugim mjestima. Na primjer, ovdje se čita

U 19. stoljeću neki su matematičari vjerovali da je svojstvo [srednje vrijednosti] ekvivalentno kontinuitetu.

Ovo je vrlo slično onome što nalazimo u A. Bruckner, Diferencijacija stvarnih funkcija , AMS, 1994. Na stranici 5 čitamo

Neki su matematičari iz 19. stoljeća vjerovali da je ovo svojstvo ekvivalent svojstvu kontinuiteta.

Wikipedia:

Povijesno gledano, ovo svojstvo srednje vrijednosti predloženo je kao definicija za kontinuitet funkcija sa stvarnom vrijednošću [potreban navod].

Nisam uspio pronaći izravan izvor koji izražava ovo uvjerenje. Da je to doista bilo tako, možda potkrepljuju sljedeća dva citata iz Mémoire sur les fonctions discontinues Gastona Darbouxa, Ann. Sci. Norma Scuola. Sup., 4 , (1875), 161–248. Prvo, na str. 58-59 čitamo:

Au risque d'être trop long, j'ai tenu avant tout, sans y réussir peutêtre, à être rigoureux. Bien des points, qu'on regarderait à bon droit comme évidents ou que l'on accorderait dans les applications of la science aux fonctions usuelles, doivent être soumis à une kritika rigoureuse dans l'exposé des предложения rođaka aux fonctions les plus générales. Primjerice, on verra qu'il existe des fonctions nastavlja se qui ne sont ni croissantes ni décroissantes dans aucun intervalle, qu'il ya des fonctions prekida qui ne peuvent varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires.

Darbouxov rad dokazuje da derivati ​​imaju svojstvo srednje vrijednosti i da postoje diskontinuirani derivati, čime se prvo potvrđuje da ta dva pojma nisu ekvivalentna. (Iz tog se razloga svojstvo srednje vrijednosti ponekad naziva svojstvo Darboux ili, čak, netko kaže da je funkcija s tim svojstvom Darboux kontinuirano .)

Dokaz da izvodi imaju svojstvo srednje vrijednosti započinje na stranici 109, gdje čitamo:

En partant de la remarque précédente, nous allons montrer qu ' il existe des fonctions prekida qui jouissent d'une propriété que l'on regarde quelquefois comme le caractère distictif des fonctions nastavlja se, celle de ne pouvoir varier d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermediaires.

Wikipedia spominje sljedeće:

Prije formalne definicije kontinuiteta, svojstvo srednje vrijednosti dano je kao dio definicije kontinuirana funkcija. Pristalice su Louis Arbogast, koji je pretpostavio da funkcije nemaju skokove, zadovoljavaju svojstvo srednje vrijednosti i imaju prirast čija veličina odgovara veličini prirasta varijable.

Članak citira ovo web mjesto, premda to nisam uspio provjeriti iz Arbogastovih djela (ili s povezanog web mjesta). Čini se da Arbogast ima pojam funkcije koji je znatno restriktivniji od našeg modernog pojma kontinuiteta, pa stoga tamo postoji teorem o srednjoj vrijednosti. Ne vidim da se on izravno obraća svojstvu srednje vrijednosti ili ukazuje da ono podrazumijeva kontinuitet. (S obzirom na njegovo razumijevanje što je funkcija, nisam čak ni siguran da bi to imalo smisla.)

Na kraju, dozvolite mi da pitam:

Ako zapravo nije slučaj da je vjera u ekvivalentnost ova dva pojma izričito navedena u literaturi, odakle potječe lažna tvrdnja? (Je li to u Halperinovom radu?)

Nedavno sam upoznat s [MR0165049 (29 # 2340)] (http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=165049). Valabrega, Elda Gibellato. * Il teorema di esistenza degli zeri delle funzioni nastavlja se nell'analisi moderna *. Atti Accad. Sci. Torino Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. ** 98 ** 1963/1964 437–444. Čini se da se rad, barem djelomično, bavi upravo ovim pitanjem. Proširit ću ovo u odgovor nakon što pažljivo pročitam članak i potvrdim njegovu relevantnost.
Tri odgovori:
#1
+10
VicAche
2014-11-03 03:13:10 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jedan od odgovora na vaše pitanje mogao bi biti da je razdvajanje zapravo došlo prilično kasno. Wikipedia tvrdi da su "raniji autori smatrali da su rezultati intuitivno očigledni i da ne zahtijevaju dokaze.", Pa sve dok Bolzano i Cauchy nisu formalizirali kontinuitet, vjerujem da nema smisla tražiti dokaze. Dakle, trebamo potražiti ljude koji čitaju Bolzano ili Cauchy i vjeruju da je svojstvo srednje vrijednosti ekvivalent kontinuitetu.

Kao što ste već rekli u svom pitanju, Darboux je 1875. pokazao da teorem možete provjeriti bez da ste stalan. Ovo ostavlja mali prozor - 1817. - 1875. - za pronalaženje objavljenih apsurda.

I dolazi sam Darboux.

La propriété précédente a souvent étée nagrada za definiciju definicija nastavlja se

što u prijevodu znači:

Spomenuti prijedlog često se miješao s definicijom kontinuiranog fonkcije

Dakle, ovo odgovara na vaše drugo pitanje: ako se ne mogu pronaći prethodni dokazi, sam Darboux tvrdio je da je pogreška široko rasprostranjena prije vlastitog rada.

U uvodu istog memoara Darboux navodi da je M. Hankelovo djelo iz 1870. u vezi s Riemannovim memoarima gdje ne prelazi nikakav prijekor, ali nije jasno govori li u ovom trenutku o postojanju izvedenice za sve funkcije ili o teoremu o srednjoj vrijednosti. Vjerujem da bi netko tko je voljan pronaći dokaze zabune mogao proučiti rad M. Hankela, ali nisam uspio pronaći članak koji opisuje Darboux.

Da hvala ti. Slažem se da se čine relevantni samo članci nakon Bolzanova i prije Darbouxova. U pitanju sam također naznačio da Darboux sugerira da je pogreška bila "uobičajena" (dva citata koja sam odabrao htjela su to ilustrirati). Nisam vidio ni Hankelov članak; Vidjet ću mogu li dobiti kopiju u sljedećih nekoliko dana.
#2
+4
Ben Crowell
2015-10-20 20:44:44 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Ovo zapravo nije odgovor, ali je predugo da bi se uklopio u komentar. Pitanje pretpostavlja da je prema definicijama iz 19. stoljeća lažno da svojstvo srednje vrijednosti podrazumijeva kontinuitet. Daleko mi je jasno da je to bio slučaj.

Postoji mnogo mogućih načina formuliranja definicije funkcije. Tri bi primjera bila definiranje pojma kao formule, korištenje pojmova postavljenih u točki ili nastavak kao u modernoj glatkoj infinitezimalnoj analizi (SIA). Koliko vidim iz WP-ovog članka " Povijest koncepta funkcije", postavljena točka točka postala je potpuno razvijena i općeprihvaćena tek u 20. stoljeću.

Ako imamo protuprimjer potraživanja, tada za svaki stvarni $ y $ imamo skup $ S_x $ od $ x $ vrijednosti jednake racionalizacijama, sa svim nestalnim $ S_x $ koji leže u konačnom intervalu . To je ekvivalentno dokazu da je $ \ mathbb {R} $ jednak broju $ \ mathbb {R} \ times \ mathbb {Q} $. To zahtijeva barem sljedeće:

(1) Prihvaćamo postojanje funkcija koje su svugdje diskontinuirane.

(2) Prihvaćamo kantorijansku analizu beskonačnosti.

To su oba značajna filozofska izbora , a ne neizbježne istine. Na primjer, broj 1 je netočan u SIA-i. Broj 2 bio je vrlo kontroverzan na kraju 19. stoljeća.

Stoga mislim da bi bolji način postavljanja pitanja mogao biti sličniji ovome: u kojem trenutku 19. ili Je li 20. stoljeće razvilo dovoljan konsenzus oko definicija i filozofije da se, prema standardnim izborima, učini lažnim da svojstvo srednje vrijednosti podrazumijeva kontinuitet?

#3
  0
Michael
2019-06-14 01:34:34 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Iskreno, ne razumijem kako je itko u 19. stoljeću mogao pomisliti da svojstvo srednje vrijednosti podrazumijeva kontinuitet. Uzmi $ y (x) = 0 $ ako je $ x = 0 $ i $ y = sin (1 / x) $ u suprotnom i imate svoj protuprimjer.

Sumnjam da su funkcije definirane analizom slučaja na stvarima uzete u obzir prilično kasno. Zna li netko detalje?


Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...