Pitanje:
Kako i kada je ponovno otkriven Bolzanoov dokaz Bolzano-Weierstrassovog teorema?
Wandering Logic
2014-10-29 21:16:22 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Uvijek me zanimalo kako se sjajne zaboravljene ideje ponovno otkrivaju. Ovo pitanje: Postoje li pisani izvori (19. stoljeće) koji izražavaju uvjerenje da je svojstvo srednje vrijednosti ekvivalent kontinuitetu? dovelo me do sljedećeg rada:

Schubring, Gert: " Bernard Bolzano - Suvremenicima nije toliko nepoznat kao što se obično vjeruje?" Historia Mathematica , 20 (1): 45-53, 1993. (Elsevierov platni zid , žao mi je što nisam uspio pronaći oslobođenu verziju.)

koja kaže da je "Herman Hankel zaslužan što je 1871. godine prvi priveo Bolzanu opću pozornost matematičke zajednice. " (a Schubring dalje tvrdi da je Bolzanovo djelo zapravo bilo poznato Crelleovom krugu u Berlinu oko 1825. godine prije nego što je zaboravljeno.)

Kako je Hankel naišao na Bolzanovo djelo i prepoznao da je Bolzano imao prioritet Weierstrass?

Jedan odgovor:
#1
+8
Logan M
2014-11-03 10:14:21 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Pošteno upozorenje: ovaj odgovor ne odgovara u potpunosti na pitanje, ali mislim da može odgovoriti na pitanje onoliko dobro koliko je to moguće.

Članak koji je Hankel napisao (objavljen 1971.) da općenito je zaslužan za "ponovno otkrivanje" Bolzanova djela bio je članak u odjeljku 1. Theil 90 (Gregorius - Grezin) Allgemeine Encyclopädie der Wissenschaften und Künste, jedne od najvećih ikada napisanih enciklopedija (koja obuhvaća 167 svezaka unatoč tome što je nedovršeno). Ovaj odjeljak možete pročitati slobodno ovdje na Google knjigama. Hankelov je članak o "Grenze" ("ograničenjima").

Relevantni odlomak koji se odnosi na Bolzano nalazi se na stranicama 209-210, dok se raspravlja o povijesti analize. Navest ću grubi prijevod ovog modernog engleskog na suvremeni engleski. Trebao bih napomenuti da gotovo ne znam njemački, tako da je prijevod puno nagađanja i ponegdje bih mogao pogriješiti. Svatko tko zna njemački trebao bi slobodno primijetiti pogreške.

Još je gori bio još jedan suvremenik koji je tada i danas bio gotovo potpuno nepoznat među matematičarima: Moramo povratiti prioritet prvog rigoroznog razvoja u niz algebarskih analiza u korist izvrsnog Bernharda Bolzana. Bolzanovi pojmovi o konvergenciji niza su sasvim jasno i ispravno napisani, sve njegove operacije s beskonačnim nizovima strogo su dokazane i ništa nije u redu s razvojem tih izjava za stvarne argumente, što on pretpostavlja svugdje. U predgovoru daje prigodnu kritiku prethodnih izvoda Binominalnog teorema, a zatim i uobičajene neograničene upotrebe beskonačnih nizova. Ukratko, ovo djelo nije bilo samo francuska umjetnost, već bi ga u tom pogledu trebalo staviti u istu ravan s Cauchyjem i na ugodan način iznijeti svoja razmišljanja. Ali Bolzano je ostao nepoznat i ubrzo zaboravljen; Cauchy je bio sretnik, onaj koji je hvaljen kao reformator znanosti i čiji su se elegantni spisi u kratkom vremenu općenito proširili.

U ovom odlomku Hankel u osnovi pripisuje Bolzanu da je razvio veći dio temelja analize neovisno o (i godinama prije) Cauchyja. Međutim, Bolzanovo djelo ostalo je nepoznato, dok je Cauchyju, koji je bio dobro povezan u francuskim matematičkim krugovima, bilo lako prenijeti njegovo djelo. Hankel ne spominje gdje je i kako pronašao Bolzanovo djelo.

Ovdje su na redu neki povijesni komentari. 1871. je značajna godina; konkretno, to je godina u kojoj je francusko-pruski rat, vrijeme snažnog nacionalnog ponosa u Njemačkoj i opće nevoljenja prema svemu francuskom. Enciklopedija u kojoj je Hankel pisao trebala je biti nešto poput enciklopedije "za njemački narod i za njega". Hankel zasigurno ne bi bio sretan što bi zaslugu za izradu analiza trebao dati Francuzu Cauchyju. Bilo je daleko bolje dati ga Bolzanu. Naravno, Bolzano nije bio idealan njemački matematičar, budući da je veći dio svoje akademske karijere proveo u Austriji i bio jednako filozof i teolog kao i matematičar (i to kontroverzan), ali govorio je i pisao na njemačkom, i podjednako važno, nije bio francuski. A Bolzano je doista činio (uglavnom) stvari koje mu je Hankel pripisivao. Da budem jasan, ne optužujem Hankela za bilo kakvu nezakonitost ističući to, samo rekavši da je imao znatan interes pripisati što je više mogao Bolzanu.

Međutim, postoji nešto u čemu je problem pripisujući razvoj ograničenja u analizi Bolzanu nad Cauchyjem, iako je više filozofski nego matematički. Bolzano je vjerojatno imao vrlo različito tumačenje svojih teorema od kasnijih čitatelja. Zapravo, u "Matematičkim djelima Bernarda Bolzana" Steve Russ tvrdi da Bolzano uopće ne bi razmišljao o svojim teoremima u smislu ograničenja, što bi povezao sa samim beskonačnostima koje je pokušavao ukloniti. Sa stranica 146-147:

Međutim, moderno prepoznavanje djela Bolzana postavlja povijesni problem. Od Hankelovog članka 1871. do izvoda iz Bitkhoffa (1973.) komentatori su skloni posebno pripisati Bolzanu zasluge za pitanja koja je u to vrijeme vidio u sasvim drugačijem svjetlu od ovih kasnijih kritičara. Ovdje mislimo na aritmetički koncept limita i koncept konvergencije beskonačnih nizova koji su danas uobičajeno prihvaćeni. Ti su se pojmovi već dugo koristili u nekom obliku, a sudeći prema drugim primjerima u njegovim spisima, Bolzano ne bi bio previše skroman da bi ih tvrdio kao nove i originalne da ih je tako smatrao. On to ne čini. Nesumnjivo je imao veliko povjerenje u ove definicije; zadovoljili su njegove konceptualne zahtjeve, znao je da će biti plodonosni i učinkoviti u razvoju analiza, ali nikada ne tvrdi da su njegovi ...

Uobičajeno se pretpostavlja da je nakon uvođenja veličina označenih kao ω ili Ω, moguće s indeksima, navedeno u BL §14 ff. prilično standardna teorija granica. Ironija je u tome što bi Bolzano, zajedno s većinom svojih suvremenika, povezao ograničenja s beskonačnim procesima (ili beskrajno malim količinama). I zato bi se, u ovom trenutku, užasnuo da ga se poveže s takvom teorijom. Slične primjedbe odnose se na njegov rad na konvergenciji nizova. Vjerovao je da binomne serije tretira negativne i racionalne eksponente na čisto konačan način. Način na koji koristi svoje ω veličine - promjenjive veličine koje mogu postati manje od bilo koje dane veličine ili koje mogu postati toliko malene koliko želimo, prirodno je privukao beskonačan raspon vrijednosti. Mogli bismo ih nazvati 'proizvoljno malim količinama'. Rusnock sugerira da je takav koncept varijable koja može postati što manja po želji bio uobičajen u to vrijeme. To je neka vrsta panda fizičkoj varijabilnoj veličini. Sugerira da bi se Bolzanove ω mogle tumačiti kao rasponi vrijednosti koje sadrže nulu ...

To će reći da je Hankelova prosudba o Bolzanu kao neovisnom otkrivaču stroga teorija ograničenja u analizi, iako je točna u smislu matematičkog sadržaja, zasigurno je lažna ako uzmemo u obzir filozofske aspekte njegova djela. Ali naravno, čak i da je Hankel to shvatio, nije imao mnogo koristi izričitim ukazivanjem na to u svom članku. U svakom slučaju, ni Bolzanove metode ni njegovi teoremi nisu bili ništa manje rigorozni od Cauchyjevih; samo je njegovo tumačenje definicija i sadržaja teorema bilo drugačije.

U svakom ćete slučaju primijetiti da Hankel nije posebno spomenuo Bolzano-Weierstrass, niti teorem o srednjoj vrijednosti (što je bio krajnji cilj Bolzana, prema kojem je Bolzano-Weierstrass bio samo lema). To nije užasno iznenađujuće. Iako je Hankel vjerojatno bio svjestan Weierstrassovog rezultata (bili su dobro upoznati jedni s drugima, Hankel je surađivao s Weierstrassom u Berlinu 1861. godine prije doktorata), vjerojatno je bilo prerano da bi se uvidjelo njegovo značenje, posebno u kontekstu ove vrste objavljivanje. Nije čak ni jasno da je Hankel pročitao dijelove Bolzanova djela koji se odnose na teorem o srednjoj vrijednosti; dijelovi koje on navodi u članku nalaze se drugdje. Dakle, zapravo Hankel nije ovdje uspostavio Bolzanoov prioritet.

Nakon izvornog navoda Hankela, neki su se matematičari vratili i čitali razna Bolzanova djela, reinterpretirajući ih na modernijem jeziku. Otto Stolz zaslužan je za ponovno otkrivanje i ponovno objavljivanje mnogih svojih matematičkih djela 1881. To je uključivalo i odgovarajući članak, Bedeutung in der Geschichte der Infinitesimalrechnung , koji je prethodio Weierstrassu, pa čak i Cauchy, uspostavljajući Bolzanov prioritet za teorem srednje vrijednosti i Bolzano-Weierstrassov teorem. Brojni drugi utjecajni njemački matematičari i filozofi također su čitali Bolzanova djela, a pronađeno je i nekoliko drugih zanimljivih matematičkih rezultata. Njegovo naslijeđe vjerojatno je zacementirano u raznim povijesnim bilješkama u vrlo utjecajnom (barem u Göttingenu) Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen, koji njegovo djelo nekoliko puta spominju kao daleko ispred svog vremena.

To odgovara na pitanje o Bolzano-Weierstrassu, ali još uvijek postoji dugo neodgovoreno pitanje, naime, kako je Hankel uopće pronašao Bolzano (što je bio velik dio vašeg izvornog pitanja). Ne znam odgovor na to, a koliko znam niko to ne zna. Možda je imao neki koncept da postoji istočnoeuropska škola analitičke filozofije koja se početkom 19. stoljeća bavila pitanjima vezanim uz beskonačnost i bila nezadovoljna Leibnizovim neformalnim pristupom računanju. Ili je možda, pišući članak, ušao u razgovor s nekim (možda nekim tko je bio upoznat s radom Bolzana iz razdoblja 1820-ih spomenutih u članku koji ste citirali, ili možda čak ni s matematičarom) koji mu je predložio da to pogleda smjer. Hankel je pristojno proučavao povijest matematike (premda su njegova povijesna djela obično imala značajne pogreške), također ukazujući na važnost rada Hermanna Grassmanna 1867. dva desetljeća nakon što je Grassman u biti zaustavio baveći se matematikom, pa je sigurno imao šire razumijevanje djela svojih prethodnika od prosječnog matematičara svog vremena. Svako tko pretpostavlja kako je točno Hankel pronašao Bolzana, ali kad je to učinio, prilično je jasno da to neće samo ignorirati u svom članku, bez obzira na to što je Bolzano radio / nije razmišljao o tome kako protumačiti svoje rezultate. Hankel je umro 1873. godine, samo dvije godine nakon objavljivanja članka, i prema mojim saznanjima nikada više nije komentirao Bolzanovo djelo. Iako bi netko mogao pratiti kretanje raznih matematičara od 1817. do 1871. godine kako bi pokušao shvatiti kako je ideja mogla biti prenesena na Hankela (naizgled herkulovski zadatak, iako tehnički nemoguć), u najboljem slučaju završili bismo s nagađanje, a istina je vrlo vjerojatno izgubljena u povijesti.



Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...