Pitanje:
Koji su primjeri doveli do suvremene definicije topološkog prostora?
Paul Siegel
2014-10-29 17:44:23 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Danas je jezik topoloških prostora putem otvorenih skupova temeljan u mnogim različitim područjima matematike, a pomalo je tajanstveno da isti formalizam uspješno bilježi tako široku raznolikost ponašanja. Mogu se sjetiti nekoliko neovisnih razloga da izmislim definiciju topologije, a sve bi to bilo na radarskim zaslonima matematičara negdje u vrijeme kada je definicija prvi put promišljena početkom 20. stoljeća:

  1. Osigurati temelje za Kleinov program Erlangen i Poincareov rad na Bettijevim brojevima i temeljnoj skupini
  2. Razjasniti temelje računa, npr. uloga kompaktnosti u teoremu krajnje vrijednosti
  3. Razlikovati različite pojmove konvergencije funkcija (što dovodi do funkcionalne analize)
  4. Dati značenje argumentima koji uključuju "generičke" konfiguracije u algebarskom geometrija

Koliko razumijem, trebalo je dosta vremena da se pojavi moderni formalizam topoloških prostora, pa me zanima koji su konkretni rezultati ili primjeri bili najutjecajniji u njegovom razvoju? A koje su moderne primjene teorije realizirane tek nakon sazrijevanja?

Mislim da su Volterra i neki drugi (vjerujem da su započeli sredinom ili krajem 1880-ih) počeli pokušavati razumjeti metode varijacija računa govoreći o tome da rade račune s "funkcijama krivulja" (npr. Njihova duljina) i kasnije Frechetovo ujedinjenje tih ideja u svom doktorat 1906. teza, imala mnogo veze s evolucijom pojmova topologije. Vidi također pitanje matematičke Stackexchange [Podrijetlo suvremene definicije topologije] (http://math.stackexchange.com/questions/70445/origins-of-the-modern-definition-of-topology).
Dobro je pitanje zašto se topologija uvodi putem otvorenih skupova. Kad su ih na fakultetu upoznali s mojim satom fizike, činili su se izrazito impresioniranima, a pojam otvorenih skupova uopće im nije bio prirodan. Zapravo, topologija se može uvesti generalizacijom ograničenja - što bi za njih, pretpostavljam, bilo puno prirodnije. Vjerujem da je Liebniz već imao suvremeni pojam kontinuiteta u embrionalnom obliku.
Dva odgovori:
Michael Weiss
2014-10-30 00:42:24 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vjerujem da je naša moderna definicija topološkog prostora ponajprije proizašla iz Hausdorffove knjige Grundzüge der Mengenlehre (Temelji teorije skupova), prvi put objavljene 1914., drugo izdanje. 1927. Hausdorff je započeo s metričkim prostorima, ali ih je potom generalizirao.

Naravno, pozadina Hausdorffova djela bilo je 19. djelo o kontinuitetu, i takozvana "aritmetizacija analize" --- pokušaj postaviti račun na čvrste logičke temelje. Ovdje su najveća imena Cauchy, Weierstrass, Dedekind, Bolzano i Cantor. Ali za aksiomatizaciju opće topologije u smislu otvorenih ili zatvorenih skupova zaslužan je Hausdorff.

Verzija koju sam čuo zaista kaže da je to bio Hausdorff. U definiciji mnogostrukosti, postoje male četvrti preslikane bijektivno za otvaranje kuglica u euklidskom prostoru, tako da su tamo gdje se preklapaju prijelazne karte kontinuirane u euklidskom prostoru. Tada je Hausdorff vidio da u definiciji "kontinuirane funkcije" od $ X \ do Y $, ne trebaju vam četvrti koje odgovaraju skupovima u euklidskom prostoru, možete samo reći za svaki $ a \ u X $ i za svaki susjedstvo $ B $ ili $ f (a) $ u $ Y $ postoji susjedstvo $ A $ od $ a $ u $ X $ takvo da $ f $ preslika $ A $ u $ B $. ...
... Pa je onda rekao: što ako to uzmemo kao ** definiciju ** tipa prostora u kojem možemo definirati "kontinuiranu funkciju". Za to je dao aksiome, gdje je susjedstvo točaka bio primitivni pojam. Kasnije su drugi smislili druge definicije, a pokazalo se da je Hausdorffov blagi poseban slučaj, a sada je poznat kao "Hausdorffov prostor".
@GeraldEdgar Čuo sam istu priču, uz zaokret da je prilagođavao definiciju diferencijalnog mnogostrukosti općenitijem kontinuiranom slučaju. Također je Weyl trebala nekako biti umiješana. Ali nisam uspio pronaći gdje sam ovo pročitao. Nisam ga mogao pronaći u Weylovom Konceptu Riemannove površine.
Tom Au
2014-10-29 18:36:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Čini se da topološki prostori vuku korijene iz devetnaestog stoljeća. Započelo je, neizravno, s teorijom granica i delta-epsilon dokazima. Veliki proboj dogodio se razvojem teorije skupova (npr. DeMorganovi zakoni) sredinom do drugog dijela stoljeća. To je dovelo do "uopćavanja" aksioma limita, konvergencije i akumulacije točke koristeći teoriju otvorenih i zatvorenih skupova. Topologija se ponekad naziva teorijom "skup točaka".

Aplikacije koje navodite došle su "kasnije", odnosno u dvadesetom stoljeću. Tako su to učinili i takozvani Aksiomi razdvajanja, koji su započeli s Hausdorffovim prostorima, 1914., a proširili su se sredinom stoljeća. Ali temelji za ove primjene postavljeni su u prošlom stoljeću.

To uopće ne odgovara na pitanje koje posebno traži * primjere topoloških prostora *. Vaš odgovor nije potpuno beskoristan, ali mislim da bi bilo bolje kao komentar.
@JackM: U pitanju je OP pitao "koji su konkretni rezultati ili primjeri bili najutjecajniji ..." Odgovorio sam koristeći "rezultate", a ne primjere. Matematičar ste i bavite se "primjerima". Ja sam povjesničar i bavim se "vremenskim rokovima". (Pogledajte naše odgovarajuće rezultate ugleda za SE.) Iz povijesne perspektive, na "ono do čega je došlo" dobro odgovaraju rezultati poput "ograničenja i delta-epsilon dokazi", kao i teorija skupova. Dakle, moj odgovor seže sve do 19. stoljeća. Za neke ljude ta "velika slika" može biti korisna koliko i suvremeni primjeri.


ⓘ
Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...