Danas je jezik topoloških prostora putem otvorenih skupova temeljan u mnogim različitim područjima matematike, a pomalo je tajanstveno da isti formalizam uspješno bilježi tako široku raznolikost ponašanja. Mogu se sjetiti nekoliko neovisnih razloga da izmislim definiciju topologije, a sve bi to bilo na radarskim zaslonima matematičara negdje u vrijeme kada je definicija prvi put promišljena početkom 20. stoljeća:
- Osigurati temelje za Kleinov program Erlangen i Poincareov rad na Bettijevim brojevima i temeljnoj skupini
- Razjasniti temelje računa, npr. uloga kompaktnosti u teoremu krajnje vrijednosti
- Razlikovati različite pojmove konvergencije funkcija (što dovodi do funkcionalne analize)
- Dati značenje argumentima koji uključuju "generičke" konfiguracije u algebarskom geometrija
Koliko razumijem, trebalo je dosta vremena da se pojavi moderni formalizam topoloških prostora, pa me zanima koji su konkretni rezultati ili primjeri bili najutjecajniji u njegovom razvoju? A koje su moderne primjene teorije realizirane tek nakon sazrijevanja?