Pitanje:
U kojem obliku danas postoji polje metamatematike?
Brian Rushton
2014-10-29 05:20:28 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Prepisivao sam članak iz Wikipedije radi metamatematike i bilo je vrlo teško pronaći bilo kakve reference nakon 1930-ih. Čini se da su najvažnija djela bila Gödelov teorem o cjelovitosti i nepotpunosti.

Postoji li danas područje matematike koje je duhovni nasljednik metamatematike kako su je proučavali Gödel, Hilbert i autori Principia Mathematica?

Sviđa mi se ovo pitanje jer isključuje upotrebu wikipedije za odgovor! :)
Prošlo je neko vrijeme otkako čitam GEB ("Godel Escher Bach"; Hofstadter), ali to bi moglo dovesti do traga ili završava s Turingom (tj. Nedaleko od Godela!)?
Glas za pokušaj rješavanja ove teme na Wikipediji.
Dva odgovori:
#1
+13
Andrés E. Caicedo
2014-11-01 02:08:41 UTC
view on stackexchange narkive permalink

U današnje vrijeme metamatematika je standardni dio krajolika matematičke logike.

S jedne strane, većinu radova na osnovama matematike vjerojatno bi trebalo smatrati metamatematičkim. Standardni temelj je teoretski postavljen, a ZFC i njegove inačice su uobičajene formalizacije. Ali ovo nije daleko jedina opcija i, na primjer, postoje nedavni radovi na onome što danas nazivamo univalentnim temeljima na temelju apstraktne teorije homotopije. U određenom je smislu ovo možda bliže Principia nego ZFC, jer teorija tipova igra ozbiljnu ulogu. S druge strane, pristup je stvarno teoretski o kategorijama i kategorijama koje zapravo nisu bile zamišljene u vrijeme Principia. Iako se ovom novom pristupu posvećuje velika pažnja, zajednica logičara uopće tek shvaća njegov opseg i mogućnosti. Nedavna serija niti na popisu e-adresa FOM (temelji matematike) ilustrira trenutnu napetost.

Veliki dio istraživanja u standardnim područjima matematičke logike potaknut je metamatematičkim razmatranjima , čak i ako ne u smislu revidiranih temelja.

Na primjer, obrnuta matematika (također spomenuta u drugom odgovoru) proučava pitanje koji su aksiomi postojanja skupa zapravo potrebni za standardne matematičke argumente. Tipični rezultati ovdje tvrde da je standardni teorem (poput teorema o srednjoj vrijednosti u klasičnoj analizi) ekvivalentan ili barem podrazumijeva (u razumno slaboj pozadinskoj teoriji u kojoj se odvija rasprava) apstraktni aksiom "postojanja" (npr. svako beskonačno binarno stablo ima beskonačnu granu) ili primjer matematičke indukcije.

Teorija dokaza bavi se teorijama kao matematičkim objektima i proučava njihovu snagu na temelju duljine dokaza (prikladno definirane) u usporedbi s nekim standardnim opcijama ili na suptilnijim načinima (poput razmatranja tzv. dokaza). -teoretski ordinali). Na primjer, unutar Peano aritmetike, standardnog sustava aksioma prvog reda za teoriju brojeva, lako možemo definirati Turingove strojeve, uobičajenu formalizaciju "računalnih programa". Tada možemo konstatirati je li binarna relacija < 'na prirodnim brojevima rekurzivna, što znači da postoji algoritam (Turingov stroj) koji može odlučiti o bilo kojem paru brojeva n, m, bez obzira je li n<'m. Mnogi rekurzivni odnosi zapravo su dobro uređeni, a s obzirom na takvu relaciju R i teoriju T (koja proširuje Peanoovu aritmetiku) možemo postaviti pitanje može li T prividiti da je R dobar poredak. Općenito, duljina dokazivih narudžbi dobro je značajno mala u usporedbi s duljinom svih rekurzivnih narudžbi dobrog. Tada možemo uspoređivati ​​teorije provjeravajući koje mogu dokazati mogućnost naručivanja dužih (rekurzivnih) uređenja dobrog rasporeda. Na temelju ovog opisa čini se da je to pomalo ekscentrično, ali to je usko povezano s tim koliko transfinite indukcije teorija može formalizirati i dokazati, tako da su ti teoretski dokazni materijali zapravo vrlo razumna mjerila moći izražavanja i snage teorija.

U teoriji skupova jedna od standardnih tema je usporedba snage konzistentnosti teorija. Iz Goedelovog djela znamo da razumna teorija T ne može dokazati vlastitu dosljednost, pa ako teorija T uspije dokazati dosljednost teorije S, to nam daje prirodan način na koji je T jači od S. Dobivena snaga dosljednosti hijerarhija je fascinantan matematički objekt. Ispada da za prirodna proširenja T ZFC-a nastojimo identificirati veliki kardinalni aksiom koji kada se doda ZFC-u rezultira teorijom koja je u skladu s T. To nam daje velikog kardinalnog pratitelja T-a i čisto matematičku studiju velikih kardinala odražava proučavanje snaga teorija. Izvanredno je da uopće postoji tako nešto. Teorija unutarnjeg modela područje je teorije skupova koje se najizravnije bavi pokušajem objašnjenja ovog fenomena. Stvarna identifikacija suputnika teorije, s druge strane, danas je uglavnom kombinatorno pitanje, zahvaljujući Cohenovom razvoju forsirajuće metode.

Reference o jednovalentnim temeljima možete pronaći ovdje i ovdje. O obrnutoj matematici, pogledajte na primjer ovdje uz vezu navedenu u drugom odgovoru. O teoriji dokaza pogledajte ovdje. Za hijerarhiju snage konzistentnosti u teoriji skupova, pogledajte ovdje, iako su također relevantni mnogi radovi i govori Johna Steela. Također, mnogi moji postovi u MathOverflowu i Math.Stackexchangeu povezani su s ovom temom. Dopustite mi da izdvojim ovu.

#2
+9
quid
2014-10-31 20:18:52 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Postoje razni noviji radovi o predmetima koji se mogu smatrati metamatematikom.

Na primjer, Obrnuta matematika pokrenuo je Harvey Friedman sredinom sedamdesetih.

Nedavno je bilo poprilično uzbuđenja oko teorije homotopijskih tipova i jednovalentnih temelja ne samo već i zbog toga što se lijepo povezuje s naporima da se automatski provjeri dokaz.

I, nepotrebno je reći, postoje razni drugi radovi u teoriji dokaza i drugim granama matematičke logike. Problem koji možda opažate je ono što je izraženo u odgovoru na MathOverflow na pitanje oko metamatematike; problemi se i dalje proučavaju, ali se više ne doživljavaju kao meta -matematika, već kao "samo redovita matematika".

Ako svoje pitanje postavite u nešto drugačijem smjeru, moglo bi se tvrditi da napori da se sve više i više matematike učini podložnom formalnoj provjeri putem pomoćnika za provjeru ili čak automatiziranim dokazivanjem teorema je prirodan i trenutni nastavak ranih napora da se matematika formalizira.



Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...