Pitanje:
Koji su teoretski rezultati skupine bili poznati za nekoliko posebnih slučajeva prije nego što je uspostavljena opća definicija skupine?
Jack M
2014-10-31 05:48:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mnogi rezultati u teoriji grupa dokazani su za permutacijske skupine prije nego što je uspostavljena opća definicija skupine (na primjer: Lagrangeov teorem, Sylow teoremi). Međutim, permutacijske skupine nisu bile jedine skupine koje su se proučavale u devetnaestom stoljeću, postojale su i skupine geometrijskih transformacija i skupine proizašle iz teorije brojeva (ne mogu stvarno dati više detalja jer iskreno ne znam detalje).

Jesu li bilo koji rezultati opće teorije grupa bili poznati za nekoliko specifičnih slučajeva, a ne samo za permutacijske skupine, prije nego što je formulirana opća definicija skupine? Pitam jer me zanima jesu li takve "slučajnosti" mogle motivirati opću definiciju grupe. Kao primjer, Lagrangeov teorem bio je poznat u 19. stoljeću i za permutacijske skupine i za multiplikativnu skupinu $ \ mathbb Z / n \ mathbb Z $ (putem Euler).

Vjerojatno vrijedi istaknuti (iako to zasigurno znate) da bilo koji čisto teoretski rezultat koji se može dokazati za permutacijske skupine vrijedi za apstraktne skupine Cayleyevim teoremom.
Koliko je meni poznato, pred Galoisom je dokazana nerazrješivost polinoma petog reda od strane radikala. Postavio je osnovu za opći slučaj. Možete tvrditi koliko je ovo teoretska skupina.
Dva odgovori:
#1
+5
Michael Weiss
2014-11-02 10:27:14 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Članak Apstraktni koncept grupe, iz arhive McTutor, daje obračun koraka prema modernoj apstraktnoj definiciji. Ukratko, Cayley je počinio prve pokušaje posrtanja (izričito se pozivajući na asocijativni zakon) u radu iz 1854. godine, ali Weber je tek 1895. godine dao modernu definiciju u svom Lehrbuch der Algebra . Weber je uključivao beskonačne skupine.

Što se tiče izvornog pitanja: osim Lagrangeova teorema koji spominjete, nisam svjestan nijednog slučaja kada je apstraktna definicija objedinila prethodne zasebne rezultate. Čini se da apstraktna definicija nije motivirana ovom željom. Međutim, istina je da su Lieove skupine izravno nadahnute Galoisovim permutacijskim skupinama i Liejeva želja da razvije teoriju za diferencijalne jednadžbe analognu Galoisovoj teoriji.

Također se čini vjerojatnim da je Weber, pišući sveobuhvatan tekst o algebri, vidio mogućnost objedinjavanja različitih pojmova. Ali to je samo nagađanje s moje strane.

#2
+2
Alexandre Eremenko
2014-11-02 01:01:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

"Gotovo sve" pronađeno je prije nego što je utvrđena općenita moderna definicija grupe :-) Nisam siguran tko je dao prvu definiciju apstraktne skupine (kao skupa s operacijom koja zadovoljava takve i takve aksiome). Ali vjerojatno se to dogodilo u dvadesetom stoljeću (za to su zaslužni razni ljudi). Za matematičare iz 19. stoljeća grupa je bila skupina transformacija skupa u sebe. A prvi duboki rezultati pripadaju Lagrangeu i Galoisu.

Cayley je općenito zaslužan za apstraktnu definiciju grupe. Pretpostavljam u istom radu iz 1854. godine gdje je dokazao Cayleyev teorem.
@Michael Weiss: Možete li dati referencu na Cayleyev rad? Je li smatrao samo konačne ili proizvoljne skupine? Ako je to točno, onda su svi rezultati prije 1854. godine dokazani prije opće definicije skupine. Najvažnije, Galoisova teorija.
http://books.google.com/books?id=_LYConosISUC&pg=PA40#v=onepage&q&f=false. Ni sam nisam pročitao članak, pa otud i moje sročenje komentara.
@Michal Weiss: dobro, pročitao sam prvu stranicu i ona potvrđuje ono što sam rekao: za Cayley ELEMETNS grupe su "operacije" ili "transformacije", već elementi nekog apstraktnog skupa :-) Mislim da se nitko nije koristio " postavlja "sustavno pred Kantorom.
U pravu ste, premda ćete, ako pročitate ostatak članka, pronaći kako pipa prema modernom konceptu. U međuvremenu sam pronašao članak iz arhiva McTutor koji opisuje razvoj apstraktnog koncepta.


Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...