Pitanje:
Pojam funkcije i ideja formule kao funkcije
Kenny LJ
2014-11-04 21:52:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enderton Elementi teorije skupova , str. 43 (1977, Academic Press), piše:

Nije bilo volje razdvojiti pojam same funkcije od ideje pisane formule koja definira funkciju.

Što je osnova za gornju povijesnu tvrdnju? I u kojoj se točki sam pojam funkcije od ideje formule čvrsto odvojio?

Čini se zanimljivim da je ono što se danas smatra elementarnom pogreškom imalo snažnu povijesnu osnovu.

Puniji citat iz Endertona:

Enderton, p. 43

Ovo je pitanje prvotno objavljeno na Math.SE.

Koliko znam, ne postoji osnova za pojam da je postojala "nevoljkost" u doslovnom smislu. Mislim da se nitko nikada nije aktivno opirao generalizaciji koncepta.
Ipak, @JackM, mislim da iza toga stoji neka zanimljiva povijest. Sjećam se da je jedan poznati matematičar uveo formalni pojam funkcije, prilično kasnije nego što sam očekivao da je to učinjeno (ali ne mogu se sjetiti detalja).
četiri odgovori:
#1
+8
Mauro ALLEGRANZA
2014-11-04 22:35:20 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Možete vidjeti Povijest koncepta funkcije.

Za Eulera (1748):

funkcija promjenjive veličine je analitički izraz sastavljen na bilo koji način od promjenjive količine i brojeva ili konstantnih veličina

tj. funkcija je bila "simbolički izraz" koji, dobivši vrijednost kao "input" omogućuje nam izračunavanje odgovarajuće "izlazne" vrijednosti.

Čini se da je u Dirichelet (1837, stranica 135 ), da možemo pronaći prvu eksplicitnu definiciju pojma funkcije kao „proizvoljnu koeficientnost“:

Ako je sada jedinstvena konačna $ y $ odgovara svakom $ x $ , i još više na takav način da kada $ x $ neprekidno se kreće u intervalu od $ a $ do $ b $ , $ y = f (x) $ također kontinuirano varira, a zatim se $ y $ naziva kontinuirana funkcija x za ovaj interval.

Ovdje uopće nije potrebno da se $ y $ daje u smislu $ x $ po cijelom jednom te istom zakonu cijeli interval i nije potrebno da se to smatra zavisnošću izraženom matematičkim operacijama [naglasak dodan].

#2
+7
Alexandre Eremenko
2014-11-05 08:48:19 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Preporučujem izvrstan Luzinov račun u Monthly: MR1615544, MR1613935 (American math Monthly 105 (1998), 1 59-67 i 3, 263-270.

Obično se zanemaruje da postoji zapravo su nekoliko različitih pojmova funkcije u modernoj matematici. Jedna je Dirichletova definicija koja se obično navodi (gdje su dva skupa dana X i Y, i pravilo koje svakom elementu X stavlja u korespondenciju element Y). Primijetite da X je dio definicije!

Dakle, problem tipa "pronađi domenu $ \ log ((x-1) (x-2)) $ nema smisla iz točke ovog definicija.

U 18. stoljeću Euler je funkciju shvatio kao neki analitički izraz čija domena nije dana unaprijed. Ovaj drugačiji pojam (iz Dirichletove definicije) nije "zastario". Razvila se u modernu definicija "analitičke funkcije". Grubo rečeno, "analitički izraz" ima "prirodnu domenu definicije", koja nije unaprijed dana. A problemi tipa "pronalaze domenu o f definicija "analitičke funkcije ima savršenog smisla u modernoj matematici.

Postoje i drugi pojmovi funkcija u modernoj matematici (generalizirane funkcije ili raspodjele), koji se također ne uklapaju u Dirichletovu definiciju. Štoviše, ove su generalizirane funkcije u nekom su smislu bliže onome što fizičari i inženjeri podrazumijevaju pod funkcijom od Dirichletove definicije.

Za sve koji su zainteresirani, objavio sam popis od 12 članaka o evoluciji ideje o funkciji u svom odgovoru na matematičko pitanje StackExchange [Koji je bio zapis funkcija prije Eulera?] (Http://math.stackexchange.com/questions/ 79613 / što-je-bila-notacija-za-funkcije-prije-eulera).
Ne znam sve ove članke, ali znam ih većinu. Ne pričaju vam priču NAKON sredine 19. stoljeća. A koncept funkcije bitno je razvijen i modificiran u 20. stoljeću.
@AlexandreEremenko: Imate li referencu na to gdje Dirichlet definira funkciju koja se sastoji od pravila koje daje korespondenciju između skupova? U definicijama koje je dao Dirichlet koje sam vidio, $ y $ naziva funkcijom (od $ x $).
#3
+1
Kenny LJ
2016-03-27 08:10:55 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Samo da dodam. Nakon što je dao standardnu, modernu definiciju funkcije, Stephen Abbott (na str. 7. od Razumijevanje analize ) napominje:

Ova definicija funkcije je više-manje jedan koji je predložio Peter Lejeune Dirichlet (1805–1859) 1830-ih. Dirichlet je bio njemački matematičar koji je bio jedan od vođa u razvoju rigoroznog pristupa funkcijama koje ćemo uskoro poduzeti. Njegova glavna motivacija bila je razotkriti probleme oko konvergencije Fourierovih serija. Dirichletovi doprinosi istaknuti su u odjeljku 8.3, gdje je predstavljen uvod u Fourierovu seriju, ali njegovo ćemo ime susresti i u nekoliko ranijih poglavlja putem. Ono što je trenutno važno jest da vidimo kako Dirichletova definicija funkcije pojam oslobađa od njegove interpretacije kao vrste "formule". U godinama koje su prethodile Dirichletovom vremenu, pod pojmom "funkcija" općenito se podrazumijevalo da se odnosi na algebarske entitete kao što su $ f (x) = x ^ 2 + 1 $ ili $ g (x) = \ sqrt {x ^ 4 + 4} $. [Gornja definicija] omogućuje puno širi raspon mogućnosti.

#4
+1
Michael Bächtold
2018-01-11 15:06:47 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Mislim da to nije toliko jasno, jer nas popularno mišljenje ("Euler je mislio samo na simboličke izraze, dok je Dirichlet dao modernu definiciju") tjera da vjerujemo. Razmotrimo na primjer ovu definiciju funkcija iz Eulers-ovog kasnijeg rada, Institutiones calculi diferencialis , 1755, Predgovor str.VI ::

Tako kada neke količine toliko ovise o drugim količinama, da ako se potonje promijene, prve se mijenjaju, tada se prve veličine nazivaju funkcijama potonjih; ova se definicija primjenjuje prilično široko i u njoj su sadržani svi načini na koje bi jednu količinu mogli odrediti drugi. Ako dakle $ x $ označava promjenljivu količinu, tada se sve veličine koje na bilo koji način ovise o $ x $ ili su njima određene, nazivaju se njegovim funkcijama.

Primjeri su $ x ^ {2 } $, kvadrat od $ x $, ili bilo koje druge moći od $ x $, i čak, čak i veličine koje su sastavljene s tim moćima na bilo koji način, čak i transcendentalne, općenito, sve što na takav način ovisi o $ x $ da kada se $ x $ poveća ili smanji, funkcija se mijenja. Iz ove činjenice proizlazi pitanje; naime, ako se količina $ x $ poveća ili smanji, za koliko se funkcija mijenja, povećava li se ili smanjuje?

Po mom mišljenju, to se bitno ne razlikuje od onoga što je Dirichlet rekao .

Štoviše, Dirichlet nikada nije govorio o skupovima ili domeni ili kodomeni karte, niti je "pravilo" nazvao funkcijom, kao što to čini moderna definicija koju imate u svim knjigama. Također pogledajte Tko je prvi smatrao $ f $ u $ f (x) $ objektom samim po sebi i tko ga je odlučio nazvati funkcijom?



Ova pitanja su automatski prevedena s engleskog jezika.Izvorni sadržaj dostupan je na stackexchange-u, što zahvaljujemo na cc by-sa 3.0 licenci pod kojom se distribuira.
Loading...